لماذا ندرس التفاضل والتكامل في الرياضيات ؟
لماذا ندرس التفاضل والتكامل في الرياضيات ؟
لماذا ندرس التفاضل والتكامل في الرياضيات؟ وماذا نستفيد منه في حياتنا؟
كنت كثيراً ما أسئل نفسي هذا السؤال أثناء دراسة البكالوريوس , ما معني التفاضل و التكامل !!؟
دعنا نسأل السؤال , ماذا يعني التفاضل و ماذا يعني التكامل ؟
لنبدأ بالتفاضل , و دعنا ننظر إلي المثال التالي :
أنت تسير بسيارتك علي الطريق و فجأه أوقفك شرطي المرور و أخبرك أنك تجاوزت السرعة و عندما طلبت منه قرائة الرادار أخبرك بانه معطل و أن سيارتك قد تم مشاهدتها من قبل مراقبين علي الطريق , المراقب الاول كان يقف عند الكيلو 100 و قد قام بتسجيل سيارتك علي أنها متجاوزة للسرعة في تمام الساعة 10:00 بينما قام المراقب الثاني بتسجيل سيارتك عند الكيلو 200 في تمام الساعة 11:00 مع معرفة أن السرعة المسموح بها علي الطريق هي 110 كيلو/الساعة, فهل تستحق المخالفة فعلاً أم أن ضابط المرور يريد العيدية ؟
حسناً يجب اولاً أن نعرف ماذا نريد أن نقيس و كيف سيتم قياسة , الفيزياء تخبرنا بأن
السرعة = المسافة \ الزمن و بما أن الفترة الزمنية التي نعرفها هنا هي فقط تلك التي رصدها المراقبين إذن المسافة التي سنقيسها هي تلك المسافة بين الإثنين خلال ذلك الزمن.
لنرمز للمسافة بالرمز X و للسرعة بـ v و للزمن بـ t لنوافق المتغيرات فالصورة
المسافة —-> 200 - 100 =100 كم
الزمن —-> 11:00 - 10:00 = ساعة واحدة
إذن فالسرعة هنا تكون 100 كلم في الساعة .
جميل, ربما تسأل ما علاقة هذا بالتفاضل ؟
جميل انك سألت , لاحظ أن هنا كان الوقت محدد (Discrete) و أيضاً المسافة , و لهذا قمنا بإستخدام معادلات محددة .
لكن يا عزيزي في الحياة التي نعيش فيها الزمن يسير بأجزاء و أجزاء متناهية الصغر داخل الثانية , في هذه الحالة لنكون دقيقين سنستخدم مفهوم يسمي ( معدل التغير مع ) أي أنه يمكننا أن نتجاهل المراقبين ( و ضابط المرور أيضاً ) و نقول ما هو معدل تغير المسافة مع الزمن الحقيقي ؟
ربما كنت تسير بسرعة ثابته بالتالي ستري الرسم بالأزرق في الصورة يشير إلي المسافة المقطوعة مع السرعة الثابتة (السرعة باللون الاحمر) و خط السرعة كما تر يشير إلي أن سرعتك ثابته مع مرور الزمن .
حسناً تعالي نرفع المستوي قليلاً لتعرف أكثر أهمية التفاضل , ماذا لو بدأت السيارة بزيادة السرعة خلال الطريق , انظر الي هذا الرسم التالي :
الآن لن تستطيع ان تقوم بحساب السرعة بطريقة الطرح العادية لأنه ببساطة في كل جزء من الوقت تبدأ السيارة بزيادة السرعة . ( الرسمة الثالثه علي اليمين لكمية التسارع و هي تشير إلي أن في كل ثانية دائماً هناك زيادة للسرعة عن الثانية الماضية و لذلك الرسم في المنتصف يشير لزيادة السرعة , اما الرسمة الأولي فهي تخبرك ببساطة انه كلما زادت سرعة السيارة كلما أصبحت قيمة المسافة المقطوعة X أكبر ) .
هل هذا مهم لتعلم التفاضل !!؟……….هذا مثال بسيط يعرفك أهمية حساب شيء يتغير مع شيء آخر ( تغير المسافة مع الزمن ………أو تغير السرعة مع تغير الزمن ) كما قلنا سابقاً التفاضل هو معدل التغير .
حسناً لنري أحد التطبيقات الحديثة , نعم إنها السيارات ذاتية القيادة و تعمل بذاتها بإستخدام رادارات و حساسات تنقل لعقل السيارة صورة عن البيئه المحيطة و من هذه الباينات التي تنقل سرعة السيارات المحيطة و الأجسام المتحركة حول السيارة و يقوم عقل السيارة عن طريق خورازميات تحتوي علي معادلات رياضية بداخلها التفاضل و التكامل بحساب بعد و قرب الأجسام و كيف تتصرف السيارة .
يمكنك أن تقيس علي هذا في أشياء أخري كثيره ….
هذه الإجابه وافية جداً في شرح التكامل
لماذا ندرس التفاضل والتكامل في الرياضيات ؟
لماذا ندرس التفاضل والتكامل في الرياضيات؟ وماذا نستفيد منه في حياتنا؟
كنت كثيراً ما أسئل نفسي هذا السؤال أثناء دراسة البكالوريوس , ما معني التفاضل و التكامل !!؟
دعنا نسأل السؤال , ماذا يعني التفاضل و ماذا يعني التكامل ؟
لنبدأ بالتفاضل , و دعنا ننظر إلي المثال التالي :
أنت تسير بسيارتك علي الطريق و فجأه أوقفك شرطي المرور و أخبرك أنك تجاوزت السرعة و عندما طلبت منه قرائة الرادار أخبرك بانه معطل و أن سيارتك قد تم مشاهدتها من قبل مراقبين علي الطريق , المراقب الاول كان يقف عند الكيلو 100 و قد قام بتسجيل سيارتك علي أنها متجاوزة للسرعة في تمام الساعة 10:00 بينما قام المراقب الثاني بتسجيل سيارتك عند الكيلو 200 في تمام الساعة 11:00 مع معرفة أن السرعة المسموح بها علي الطريق هي 110 كيلو/الساعة, فهل تستحق المخالفة فعلاً أم أن ضابط المرور يريد العيدية ؟
حسناً يجب اولاً أن نعرف ماذا نريد أن نقيس و كيف سيتم قياسة , الفيزياء تخبرنا بأن
السرعة = المسافة \ الزمن و بما أن الفترة الزمنية التي نعرفها هنا هي فقط تلك التي رصدها المراقبين إذن المسافة التي سنقيسها هي تلك المسافة بين الإثنين خلال ذلك الزمن.
لنرمز للمسافة بالرمز X و للسرعة بـ v و للزمن بـ t لنوافق المتغيرات فالصورة
المسافة —-> 200 - 100 =100 كم
الزمن —-> 11:00 - 10:00 = ساعة واحدة
إذن فالسرعة هنا تكون 100 كلم في الساعة .
جميل, ربما تسأل ما علاقة هذا بالتفاضل ؟
جميل انك سألت , لاحظ أن هنا كان الوقت محدد (Discrete) و أيضاً المسافة , و لهذا قمنا بإستخدام معادلات محددة .
لكن يا عزيزي في الحياة التي نعيش فيها الزمن يسير بأجزاء و أجزاء متناهية الصغر داخل الثانية , في هذه الحالة لنكون دقيقين سنستخدم مفهوم يسمي ( معدل التغير مع ) أي أنه يمكننا أن نتجاهل المراقبين ( و ضابط المرور أيضاً ) و نقول ما هو معدل تغير المسافة مع الزمن الحقيقي ؟
ربما كنت تسير بسرعة ثابته بالتالي ستري الرسم بالأزرق في الصورة يشير إلي المسافة المقطوعة مع السرعة الثابتة (السرعة باللون الاحمر) و خط السرعة كما تر يشير إلي أن سرعتك ثابته مع مرور الزمن .
حسناً تعالي نرفع المستوي قليلاً لتعرف أكثر أهمية التفاضل , ماذا لو بدأت السيارة بزيادة السرعة خلال الطريق , انظر الي هذا الرسم التالي :
الآن لن تستطيع ان تقوم بحساب السرعة بطريقة الطرح العادية لأنه ببساطة في كل جزء من الوقت تبدأ السيارة بزيادة السرعة . ( الرسمة الثالثه علي اليمين لكمية التسارع و هي تشير إلي أن في كل ثانية دائماً هناك زيادة للسرعة عن الثانية الماضية و لذلك الرسم في المنتصف يشير لزيادة السرعة , اما الرسمة الأولي فهي تخبرك ببساطة انه كلما زادت سرعة السيارة كلما أصبحت قيمة المسافة المقطوعة X أكبر ) .
هل هذا مهم لتعلم التفاضل !!؟……….هذا مثال بسيط يعرفك أهمية حساب شيء يتغير مع شيء آخر ( تغير المسافة مع الزمن ………أو تغير السرعة مع تغير الزمن ) كما قلنا سابقاً التفاضل هو معدل التغير .
حسناً لنري أحد التطبيقات الحديثة , نعم إنها السيارات ذاتية القيادة و تعمل بذاتها بإستخدام رادارات و حساسات تنقل لعقل السيارة صورة عن البيئه المحيطة و من هذه الباينات التي تنقل سرعة السيارات المحيطة و الأجسام المتحركة حول السيارة و يقوم عقل السيارة عن طريق خورازميات تحتوي علي معادلات رياضية بداخلها التفاضل و التكامل بحساب بعد و قرب الأجسام و كيف تتصرف السيارة .
يمكنك أن تقيس علي هذا في أشياء أخري كثيره ….
هذه الإجابه وافية جداً في شرح التكامل
