بدر الاسلام
منسق الموقع
درس تحليل الفرق بين مكعبين في مادة الرياضيات
درس تحليل الفرق بين مكعبين في مادة الرياضيات
تحليل الفرق بين مكعبين
المكعب أحد الأشكال الهندسيّة، التي تكون
جميع أوجهه مربعة الشكل، وحجمه (ل 3)،
حيث تمثّل (ل) طول ضلعه، ويسمّى (س3–ص3)
فرقاً بين مكعبين، بحيث تمثل (س3) حجم
مكعب طول ضلعه س، وتمثل (ص3) حجم مكعب طول
ضلعه ص، ومقدار الفرق بين مكعبين يكون من
خلال التحليل إلى قوسين مضروبين في بعضهما،
يحوي القوس الأول حدان هما (س–ص)، ويحوي
القوس الثاني ثلاثة حدود هي (مربع الجذر
التكعيبي للحد الأول+الجذر التكعيبي للحدّ
الأول×الجذر التكعيبي للحد الثاني+مربع الجذر
التكعيبي للحد الثاني)، وبالتعبير الرياضي العام
يمكن تمثيل تحليل الفرق بين مكعبين
كالآتي: س3–ص3= (س–ص) (س2+س ص+ص2).
أمثلة على تحليل الفرق بين مكعبين
المثال (1): حلل المقدار س3 – 9؟، الحل:
حسب قانون الفرق بين مكعبين فإنّ:
س3 – ص3 = (س – ص)×( س2+س ص+ص2)، إذاً
س3 – 27 = (س – 3) (س2+3س+ 9). المثال (2):
حلل المقدار س3-125؟ الحل: س3- 125= (س-5)
(س2+5س+25). المثال (3): حلّل المقدار 8 س3–27؟
الحل: يجب تحليل 8س3 إلى 2س×2س×2س، وتحليل 27
إلى 3×3×3، إذاً قيمة المقدار الأول هي 22س،
وقيمة المقدار الثاني هي 3، وحسب قانون
الفرق بين مكعبين تصبح المعادلة كالتالي،
8س3-27 = (2س– 3) (4س2+2س×3+9). المثال
(4): حلّل المقدار (س+3)4-(س+3)؟ الحل:
في البداية نقوم بإخراج (س+3) كعامل مشترك،
وتصبح كالآتي،(س+3) ((س+3)3-1)، إذاً قيمة
المقدار الأول هي (س+3)، وقيمة المقدار الثاني
هي1، أي أنّ (س+3) ((س+3)3-1)، ثمّ نقوم بتحليل
المقدار ((س+3)3-1) حسب قانون الفرق بين
مكعبين، (س+3) ((س+3)-1)((س+3)2+(س+3)+1)).
المثال(5): حلّل 40 س3-5 ص3 ؟ الحل:
40 س3-5ص3= 5(8 س3- ص3)= 5 ((2 س-ص)
(4 س2-2 س ص+ ص2)). المثال (6): حلّل
( ع-2)3- ع3؟ الحل: (ع-2)3- ع3 = ع3-
(ع-2)3 = (ع-(ع-2)) (ع2+ع (ع-2)+(ع-2)2)=
(2) (ع2+ع2-2 ع+ع2-4ع+4) = (2) (3 ع2-6 ع+4).
المثال (7): حلّل-5 س3 ص3+49 ع3-14 ع3+7
س3ص3+62س3ص3-99 ع3؟ الحل: نقوم بتبسيط المقدار
السابق إلى 64 س3ص3- 64ع3 = 64 (س3ص3-ع3)=
64 (س ص-ع)(س2ص2+س ص ع+ع2). المثال(8):
ما هي قيمة س3- أ3؟ الحل: (س3 – أ3= (س – أ)
×مقدار لا نعرفه، نقوم بقسمة طرفي المعادلة على
(س – أ)، (س3- أ3)/ (س- أ) = مقداراً لا نعرفه،
وحسب مفهوم القسمة الطويلة نصل إلى (س2+أ س+ أ2)
/ (س- أ)، ومن خلال تحليل الفرق بين مكعبين نجد
أن، س3– أ3= (س- أ) (س2+أ س+ أ2). من الأمثلة
السابقة نستنتج أنه في حال وجد أي مقدار من
الممكن تحليله ونستفيد من تحليله يجب علينا
تحليله، وإخراج هذا المقدار كعامل مشترك،
من أجل التبسيط لأكبر قدرممكن، وتسهيل عملية التحليل.
درس تحليل الفرق بين مكعبين في مادة الرياضيات
تحليل الفرق بين مكعبين
المكعب أحد الأشكال الهندسيّة، التي تكون
جميع أوجهه مربعة الشكل، وحجمه (ل 3)،
حيث تمثّل (ل) طول ضلعه، ويسمّى (س3–ص3)
فرقاً بين مكعبين، بحيث تمثل (س3) حجم
مكعب طول ضلعه س، وتمثل (ص3) حجم مكعب طول
ضلعه ص، ومقدار الفرق بين مكعبين يكون من
خلال التحليل إلى قوسين مضروبين في بعضهما،
يحوي القوس الأول حدان هما (س–ص)، ويحوي
القوس الثاني ثلاثة حدود هي (مربع الجذر
التكعيبي للحد الأول+الجذر التكعيبي للحدّ
الأول×الجذر التكعيبي للحد الثاني+مربع الجذر
التكعيبي للحد الثاني)، وبالتعبير الرياضي العام
يمكن تمثيل تحليل الفرق بين مكعبين
كالآتي: س3–ص3= (س–ص) (س2+س ص+ص2).
أمثلة على تحليل الفرق بين مكعبين
المثال (1): حلل المقدار س3 – 9؟، الحل:
حسب قانون الفرق بين مكعبين فإنّ:
س3 – ص3 = (س – ص)×( س2+س ص+ص2)، إذاً
س3 – 27 = (س – 3) (س2+3س+ 9). المثال (2):
حلل المقدار س3-125؟ الحل: س3- 125= (س-5)
(س2+5س+25). المثال (3): حلّل المقدار 8 س3–27؟
الحل: يجب تحليل 8س3 إلى 2س×2س×2س، وتحليل 27
إلى 3×3×3، إذاً قيمة المقدار الأول هي 22س،
وقيمة المقدار الثاني هي 3، وحسب قانون
الفرق بين مكعبين تصبح المعادلة كالتالي،
8س3-27 = (2س– 3) (4س2+2س×3+9). المثال
(4): حلّل المقدار (س+3)4-(س+3)؟ الحل:
في البداية نقوم بإخراج (س+3) كعامل مشترك،
وتصبح كالآتي،(س+3) ((س+3)3-1)، إذاً قيمة
المقدار الأول هي (س+3)، وقيمة المقدار الثاني
هي1، أي أنّ (س+3) ((س+3)3-1)، ثمّ نقوم بتحليل
المقدار ((س+3)3-1) حسب قانون الفرق بين
مكعبين، (س+3) ((س+3)-1)((س+3)2+(س+3)+1)).
المثال(5): حلّل 40 س3-5 ص3 ؟ الحل:
40 س3-5ص3= 5(8 س3- ص3)= 5 ((2 س-ص)
(4 س2-2 س ص+ ص2)). المثال (6): حلّل
( ع-2)3- ع3؟ الحل: (ع-2)3- ع3 = ع3-
(ع-2)3 = (ع-(ع-2)) (ع2+ع (ع-2)+(ع-2)2)=
(2) (ع2+ع2-2 ع+ع2-4ع+4) = (2) (3 ع2-6 ع+4).
المثال (7): حلّل-5 س3 ص3+49 ع3-14 ع3+7
س3ص3+62س3ص3-99 ع3؟ الحل: نقوم بتبسيط المقدار
السابق إلى 64 س3ص3- 64ع3 = 64 (س3ص3-ع3)=
64 (س ص-ع)(س2ص2+س ص ع+ع2). المثال(8):
ما هي قيمة س3- أ3؟ الحل: (س3 – أ3= (س – أ)
×مقدار لا نعرفه، نقوم بقسمة طرفي المعادلة على
(س – أ)، (س3- أ3)/ (س- أ) = مقداراً لا نعرفه،
وحسب مفهوم القسمة الطويلة نصل إلى (س2+أ س+ أ2)
/ (س- أ)، ومن خلال تحليل الفرق بين مكعبين نجد
أن، س3– أ3= (س- أ) (س2+أ س+ أ2). من الأمثلة
السابقة نستنتج أنه في حال وجد أي مقدار من
الممكن تحليله ونستفيد من تحليله يجب علينا
تحليله، وإخراج هذا المقدار كعامل مشترك،
من أجل التبسيط لأكبر قدرممكن، وتسهيل عملية التحليل.
التعديل الأخير بواسطة المشرف:
