في اليوم كم مرة يتعامد عقرب الدقائق مع عقرب الساعات ؟

في اليوم كم مرة يتعامد عقرب الدقائق مع عقرب الساعات ؟

يتعامد عقرب الدقائق مع عقرب الساعات مرتين في اليوم، عندما يكون الوقت بالضبط 12:00 ظهرًا و 12:00 منتصف الليل. في الساعة 12:00 ظهرًا ، يتم تعامد العقربين بحيث يكون العقرب الدقيق عند الرقم 12 والعقرب الساعة عند الرقم 12. وفي الساعة 12:00 منتصف الليل ، يتم تعامد العقربين مرة أخرى ولكن هذه المرة يكون العقرب الدقيق عند الرقم 12 والعقرب الساعة عند الرقم 12 أيضًا.

النقطة الأهمّ في حلّ هذه المسألة هي إدراك التالي:

للوهلة الأولى نعتقد أنّ أيّ زاوية بين عقربي الساعات والدقائق ستتكرّر كلّما دار عقرب الدقائق نصف دورة أي 180 درجة، مثلًا تكون الساعة 3:00 والزاوية 90 درجة، يظنّ الشخص المتعجّل أنّ الساعة 3:30 أي بعدما دار عقرب الدقائق نصف دورة وانقلبت الزاوية من الأعلى إلى الأسفل، ستصنع عندها العقارب زاوية 90 درجة للمرة الثانية، لكن نسي أنّ عقرب الساعات قد تحرّك خلال هذه النصف ساعة 15 درجة بالتالي الزاوية عند الساعة 3:30 ستكون 75 درجة، ونحن بحاجة لـ15 درجة إضافية حتى نصل إلى 90.

هنا تنشأ مشكلة جديدة، وهي أنّنا ببساطة يمكن أن ننتظر عقرب الدقائق ليتحرّك 15 درجة وهذا ما يستغرق دقيقتين ونصف، المشكلة هي أنّ عقرب الساعات لم يبقَ في مكانه بل تحرّك بدوره درجة وربع الدرجة، مرّة جديدة علينا منح عقرب الدقائق عدّة ثوان كي يعوّض النقص، والذي سيخلق نقصًا جديدًا أصغر هذه المرّة بسبب تحرّك عقرب الساعات، وهذا ما يذكّرنا بمفارقة الانقسام للسيّد زينون[1] ، لكن لا تقلق ف مفارقة عقربي الساعة ستُحل خلال الأسطر التالية. ((انظر التعديل في الأسفل))

ما هو الحلّ؟

سنلجًا للمعادلات، لا تخف المعادلة بسيطة جدًا

سنفرض أنّ قياس الزاوية بين العقربين x والزمن اللازم كي تتكرّر نفس الزاوية بين العقربين للمرّة التالية مباشرةً أي خلال نفس الساعة هو t مقدّرًا بالدقائق

سنشكّل المعادلة التالية

x+6t=x+t/2+180

لا تنسَ أنّ عقرب الدقائق يتحرّك 6 درجات كلّ دقيقة، وعقرب الساعات يتحرّك نصف درجة كلّ دقيقة

t=360/11=32.72

هل تذكر المناقشة السابقة عندما وصلنا إلى أنّه بعد دقيقتين ونصف الزائدة فوق النصف ساعة سنحتاج بضعة ثوان، لقد وصلنا إلى نفس النتيجة بالحساب الدقيق هنا.

أي أنّه كل 32.72 دقيقة (مكتوبة بالحساب المئوي، وتعادل بالحساب الستيني 32:43) سيحصل تناظر أي ستُكرّر نفس الزاوية التي كانت قبل هذا الفاصل الزمني.

لاحظ حتى الآن لم تدخل الزاوية 90 درجة في الحسابات، بالتالي يصلح هذا الحل لو كان السؤال حول أيّة زاوية كانت، والسؤالين الأكثر شيوعًا بعد سؤال التعامد هما متى ينطبق العقربان (أي يشكّلان زاوية صفر) ومتى يستقيم العقربان (أي يشكّلان زاوية 180 درجة).

أخيرًا إلى الناتج النهائي

لم يحدّد السؤال ما هي المدّة التي يريد فيها حساب عدد مرّات التعامد، لذا سأفترض أنه في يوم كامل، أي 24 ساعة، التي تعادل 1440 دقيقة

1440/360/11=44

ملحوظة الاولى

السؤال من الأسئلة الكلاسيكية التي تختبر الانتباه، وعادةً يخطئ الكثيرون ويجيبون 48 مرة بدلًا من 44 أي بزيادة مرتين في كل 12 لأنّهم يعتقدون أنّ العقربين يشكلان زاوية قائمة مرتين كل ساعة بينما اكتشفنا بالحساب أنّهما يستغرقان أكثر من 32 دقيقة لتكرار الزاوية القائمة وهذا يعني أنّهما لن يستطيعا تشكيل زاوية قائمة مرتين خلال 60 دقيقة.

ملحوظة الثانية

يوجد طريقة نقاش تعتمد الكلام فقط دون حسابات لكنها تبدو غير مقنعة للكثيرين، حيث نقول حتى يتمّ عقرب الساعات دورته يكون قد دار عقرب الدقائق 12 مرة، وبذلك نكون قد فقدنا دورة كاملة وهي التي كان عقرب الساعات يقضمها جزءًا تلو جزء في كلّ ساعة وبذلك فإنّ العقربين يكرران جميع الأوضاع النسبية بينهما 22 مرة كل 12 ساعة وليس 24 مرة.

ملحوظة الثالثة

بالرغم من أنّ الكلام الوارد في الفقرة السابقة قد يبدو غير مقنع إلا أنّه وبالاستعانة بالرسم البياني التالي سيبدو واضحًا، لكن مرة أخرى سنكون قد استخدمنا الحسابات وليس الكلام، الحسابات والمعادلات هنا بشكل آخر هو الخطوط البيانية

ملحوظة الرابعة

يخطئ البعض في تعليل أنّ الأوضاع النسبية للعقربين تتكرّر 22 مرة كل 12 ساعة بالقول إنّ الأوضاع النسبية تتكرّر 24 مرة لكن الساعة 3:00 والساعة 9:00 تُحسبان مرّتين ويجب حذف التكرار، وهذا خاطئ، وقد علّلنا أعلاه عدد التكرارات بالتفصيل ونزيد عليه القول حتى لو كانت هاتين الساعتين قد تكررتا مرتين فهذا يُحسب لهما لأنّ أساس السؤال مبني على حساب عدد التكرارات للزاوية المعطاة.

تعديل

يمكن الحلّ بطريقة أخرى لكنها طويلة جدًا وهي اعتماد قانون حساب الزاوية بين العقربين لكن مع تعويض الزاوية 90 وإيجاد العلاقة بين الدقائق والساعات

سينتج علاقة نعوّض فيها كل القيم الممكنة للساعات من 1 الى 12 أو من 0 إلى 11

ستنتج بعض الحلول المرفوضة وهذا مثال للبدء فيها

الساعة 12:49:05 تعني الساعة 12 و49 دقيقة و 5 ثوان

لا يجوز إهمال الثواني في هذه الطريقة

للتوضيح فقد حسبت الزاوية بين العقربين عند الساعة 12:49 أي بالضبط 12:49:00 وكانت كما يلي

تعديل2

بالإضافة للقانون الوارد أعلاه يوجد موقع بل الكثير من المواقع التي تحسب لك الزاوية بمجرد إدخال قيمة الساعة