هل مشتقة التكامل المحدود صفر؟

هل مشتقة التكامل المحدود صفر؟ وهل مشتقة التكامل الغير محدود لا تكون صفرًا؟

هل مشتقة التكامل المحدود صفر؟ وهل مشتقة التكامل الغير محدود لا تكون صفرًا؟

بسم اللّه،

بالنّسبة للشّطر الأوّل من السّؤال، فاِن التكامل المحدود لدالّة مستمرّة على مجال التكامل، دائماً ما يعطي عدداً! نعلم جيّداً أنّ مشتقّة العدد الثّابت هي الصّفر.

الآن، التّكامل الغير محدود أنواع. مثلاً، ربما نقصد التّكامل

∫abf(x)dx,∫abf(x)dx,

أين يكون لدينا، إما

limx→a+f(x)=±∞,limx→a+f(x)=±∞,

أو

limx→b−f(x)=±∞.limx→b−f(x)=±∞.

نحصل حينئذ على ما نسمّيه التّكامل المعمّم أو التّكامل الغير محدود (Generalised/Unbounded Integral). في هذه الحالة، لا بد من دراسة قيمة التّكامل المدروس؛ فلو كان

∫abf(x)dx=α∈R,∫abf(x)dx=α∈R,

كانت المشتقّة صفراً. أمّا لو كان

∫abf(x)dx=±∞,∫abf(x)dx=±∞,

فإن الحديث عن الاِشتقاق لن يكون ذا معنى… إذ، ماذا نعني باِشتقاق اللامنتهي؟!

الآن، نتحدث عن صنف آخر من التّكامل. التّكامل المرفق بوسيط (Parametrised Integral)، و فيه نوعان. الأوّل، هو التّكامل بوجود وسيط في أحد أو كلا حدّي المكاملة، حيث من أجل دالّتين قابلتين للاشتقاق، a0a0، b0b0، نضع

F(x)=∫a0(x)b0(x)f(x)dx,a≤x≤b.F(x)=∫a0(x)b0(x)f(x)dx,a≤x≤b.

النّظريّة الأساسيّة للتّفاضل والتّكامل (Fundamental Theorem of Calculus) تمنحنا النّتيجة التّالية

F′(x)=b′0(x)f(b0(x))−a′0(x)f(a0(x)),a<x<b.F′(x)=b0′(x)f(b0(x))−a0′(x)f(a0(x)),a<x<b.

يبقى لنا أن نذكر صنفاً يجمع بين لا محدوديّة مجال التّكامل ووساطة وسيط في دالّة نسمّيها نواة التّكامل؛ حيث، على سبيل المثال لا الحصر، من أجل

F(x)=∫a∞g(x,s)f(s)ds,a≤x≤b,F(x)=∫a∞g(x,s)f(s)ds,a≤x≤b,

يكون لدينا، بتوفّر بعض الشّروط في دالّة النّواة g(⋅,⋅)g(⋅,⋅)، ما يلي

F′(x)=∫a∞∂g∂x(x,s)f(s)ds,a<x<b.