حل المعادلة 3^س+4^س=5^س

حل المعادلة 3^س+4^س=5^س

لا يمكن حل المعادلة 3^س+4^س=5^س بشكل دقيق باستخدام الأساليب الرياضية العادية، لأن هذه المعادلة تشمل معادلة تفاضلية (equation of a curve)، وليس لدينا أساليب بسيطة لحل مثل هذه المعادلات.

يمكن استخدام بعض التقريبات العددية للحصول على قيمة مقربة لحل المعادلة. ومن الملاحظ أن العدد 2 يعد حلاً تقريبياً للمعادلة، حيث يعطي قيمة تقريبية لكل جانب منها:

3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2

ولكن هذا الحل ليس دقيقاً ولا يمكن الاعتماد عليه بشكل كامل.

طريقة اخرى لحل هكذا معادلات

الرياضيات

المسألة الأولى:

نريد حلّ المعادلة

x3+x4=x5,x∈R.(1)

أولا، نلاحظ أن x=0
يمثّل أولى الحلول لهذه المعادلة! إذن، لنبحث عن حلول أخرى و تكون غير معدومة! من أجل كل عدد حقيقي غير معدوم x
، لدينا

x3+x4−x5=0⟹x3(1+x−x2)=0.

بما أنّنا سبق ووجدنا الحل المعدوم، فإنّ إنعدام المعادلة الأخيرة يعود لاِنعدام العامل 1+x−x2
. لذا، يستوجب هذا البحث عن جذوره (حلوله)، حيث

1+x−x2=0⟺−(x2−x−1)a(x)=0.

كثير الحدود a(x)
من كثيرات الحدود الشهيرة في الرّياضيّات! حيث، له حلّان حقيقيّان هما النّسبة الذّهبية (بالإنجليزية: Golden Ratio)[1] التي نرمز لها عادة بالرّمز φ
، و كذا معاكس مقلوب النّسبة الذّهبيّة، 1φ
.

لذا، فإن حلول المعادلة (1)
هي ثلاثة،

x1=0,x2=φ,x3=−1φ,

مع الحلّ المعدوم x1
يكون من القوّة 3
و الحلّان المتبقيّان كلاهما من القوّة 1
.

المسألة الثّانية:

نريد حلّ المعادلة

3x+4x=5x,x∈R.(2)

هذه المعادلة تقبل حلّا وحيدا، هو x=2
، حيث

32+42=52.