معادلة جاوس للكهرباء

معادلة جاوس للكهرباء

معادلة جاوس هي واحدة من المعادلات الأساسية في الفيزياء وتصف توزيع الشحنات الكهربائية في المجال الكهربائي. يمكن كتابتها بالشكل العام كالتالي:

∇.E = ρ/ε₀

حيث:

• ∇.E هو الانحراف الداخلي لمتجه الكثافة الكهربائية E
• ρ هو الكثافة الشحنية الكهربائية في المنطقة المعنية
• ε₀ هي الثابت الكهربائي للفراغ

تعني هذه المعادلة أن الانحراف الداخلي للمتجه الكهربائي في أي منطقة مغلقة تساوي الكثافة الشحنية الكهربائية داخل هذه المنطقة مقسومة على الثابت الكهربائي للفراغ. بمعنى آخر، يمكن استخدام هذه المعادلة لحساب الحقول الكهربائية الناتجة عن توزيع الشحنات الكهربائية في أي منطقة معينة.

معادلة جاوس أحد القوانين الأساسية

تعتبر معادلة جاوس أحد القوانين الأساسية في علم الكهرباء والمغناطيسية، وهي تساعد في فهم سلوك الحقول الكهربائية وتوزيع الشحنات الكهربائية في الفراغ. وتستخدم هذه المعادلة في العديد من التطبيقات الهامة في العلوم الفيزيائية والهندسية والتكنولوجية، بما في ذلك تصميم الأجهزة الإلكترونية والتحكم في الإشارات الكهربائية.

ويمكن تطبيق معادلة جاوس على أي مجال كهربائي ثابت أو متغير، وسواء كان المجال داخل موصل كهربائي أو في الفراغ. وتشير المعادلة إلى أن الشحنة الكهربائية الموجودة في المجال تؤثر على توزيع الحقل الكهربائي في المنطقة المعنية، حيث يزيد تركيز الشحنات الكهربائية في المنطقة على زيادة الحقل الكهربائي، والعكس صحيح بالنسبة لتركيز الشحنات الكهربائية المنخفض.

وتستخدم معادلة جاوس في العديد من التطبيقات المتعلقة بالكهرباء، بما في ذلك تحليل الدوائر الكهربائية وحساب القدرة الكهربائية وتصميم المحركات الكهربائية والمولدات والمكثفات وغيرها من الأجهزة الكهربائية. وتستخدم المعادلة أيضًا في مجال البصريات لحساب توزيع الحقل الكهربائي وتأثيرات الإشعاع على الأجسام الكهربائية.

امثلة وحلول

إليك بعض الأمثلة والحلول المتعلقة بمعادلة جاوس في الكهرباء:

1- ما هو توزيع الحقل الكهربائي داخل كرة موصلة مشحونة بشحنة Q؟
حل:
يمكن استخدام معادلة جاوس لحساب توزيع الحقل الكهربائي في المنطقة المغلقة داخل الكرة، وهي:
∇.E = ρ/ε₀
حيث ρ هي الكثافة الشحنية، وفي هذه الحالة تكون قيمتها موزعة بالتساوي داخل الكرة، أي ρ = Q/V، حيث V هي حجم الكرة. بالتالي، يمكن كتابة المعادلة بالشكل التالي:
∇.E = Q/ε₀V
وبما أن الكرة متناظرة، فإن التوزيع النهائي للحقل الكهربائي سيكون كرويًا وتكون قيمته E = Q/4πε₀r²، حيث r هو المسافة من مركز الكرة.

2- ما هو التغير في حقل الكهرباء الناتج عن تحريك شحنة من موضع ب إلى موضع أ في الفراغ؟
حل:
يمكن استخدام معادلة جاوس لحساب التغير في الحقل الكهربائي بين الموضعين ب وأ، وهي:
∇.E = ρ/ε₀
حيث ρ هي الكثافة الشحنية، وفي هذه الحالة لا يوجد أي شحنة في الفراغ، أي ρ = 0. بالتالي، تكون المعادلة كالتالي:
∇.E = 0
وهذا يعني أن الحقل الكهربائي في الفراغ لا يتغير عند تحريك الشحنة من موضع ب إلى موضع أ، فالحقل الكهربائي يبقى ثابتًا ولا يتأثر بالتحريك.

3- ما هي قوة الجذب بين شحنتين متساويتين ومتناظرتين مفصولتين بينهما مسافة d في الفراغ؟
حل:
يمكن استخدام معادلة كولوم لحساب القوة الكهربائية بين الشحنتين، وهي:
F = kq₁q₂/r²
حيث k هي ثابت كولوم وتساوي k = 1/(4πε₀)، q₁ و q₂ هما شحنتي الجسيمات، و r هي المسافة بينهما، وفي هذه الحالة تكون r = d.

وبما أن الشحنتين متناظرتين ومتساويتين، فإن q₁ = q₂ = q، بالتالي يمكن كتابة المعادلة بالشكل التالي:
F = kq²/d²

وباستخدام قيمة الثابت k وتعويضه في المعادلة، يمكن حساب القوة الكهربائية بين الشحنتين. على سبيل المثال، إذا كانت قيمة الشحنة q = 2 ميكروكولومب، والمسافة بين الشحنتين d = 0.1 متر، فإن القوة الكهربائية بينهما تكون:

F = (1/(4πε₀)) * (2×10^-6)²/(0.1)² = 8.99×10^9 * (4×10^-12)/(10^-2)² = 3.596×10^-2 نيوتن.